5 ejercicios de permutacion, permutacion repetitiva y conbinacon

permutacion
1.-¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2.-¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3.-Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos

4.-Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

5.-De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

permutacion repetitiva

• 1: En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

Al tener tres bolas blancas, a efectos de ordenación se consideran iguales, lo mismo ocurre con las rojas y las negras.
Las posibles ordenaciones son: 
• 2:En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos?
A la hora de elaborar la clasificación por equipos los atletas se consideran idénticos.
El número de posibles clasificaciones es: 

Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

Solución:

n = 6 banderines

x₁ = 2 banderines rojos

x₂ = 3 banderines verdes

x₃ = 1 banderín morado

                  ₆P₂,₃,₁ = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

3:      a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las  claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

Solución:

a. n = 8 números

    x₁ = 3 números uno

    x₂ = 1 número dos

    x₃ = 4 números cuatro

                        ₈P₃,₁,₄ = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso

b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos)

    x₁ = 2 números uno

    x₂ = 4 números tres

                        1 x 1 x ₆P₂,₄ = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso

El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.

c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres)

    x₁ = 3 números uno

    x₂ = 3 números tres

                        1 x ₆P₃,₃ x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso

El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes.

4:      ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

Solución:

n = 9 árboles

x₁ = 2 nogales

x₂ = 4 manzanos

x₃ = 3 ciruelos

                  ₉P₂,₄,₃ = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

5:      Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

Solución:

n = 12 juegos

x₁ = 7 victorias

x₂ = 3 empates

x₃ = 2 juegos perdidos

                 

                  ₁₂P₇,₃,₂ = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.

conbinacion

 1.-En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

2.- en una heladería tienen se venden helados de dos sabores diferentes, ¿cuántos helados de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de nata, vainilla, chocolate, limón y naranja?

Solución:

• Primero verificamos que estamos ante una Combinación:

• No se toman todos los elementos del grupo (se toman solo de dos en dos) → correcto

• No se repiten elementos (los helados son de dos sabores diferentes) → correcto

• El orden no importa (un helado de chocolate y vainilla es el mismo que uno de vainilla y chocolate) → correcto

• Después de comprobar que efectivamente se trata de una combinación, calculamos el número de helados diferentes:

m = 5 sabores diferentes

n = 2 (helados de dos sabores

C_mⁿ = C₅² = 5! / [2! (5-2)!] = 5! / (2! · 3!) = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 3 · 2) = 10 combinaciones

3:

4:

5:

formula de permutacion,permutacion repetitiva y conbinación

1.-Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...

n = a + b + c + ...

2.- permutacion: La ecuación para el número de permutaciones es la siguiente:

3.-conbinacion: Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos:

definicion de combinacion

1. 1.-

   COMBINACIONES DE m ELEMENTOS TOMADOS DE n EN n . Se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en n (m - n) a todas las agrupacion.
   

   
   
2. 2.- Combinación es técnica de conteo que permite calcular el número de arreglos que pueden realizarse con todos o con una parte de los elementos de un solo conjunto, en donde no interesa el orden de los elementos.
   Podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
   
   Las combinaciones se denotan por 
   Ejemplos: 
   1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
   
   
   2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
   No entran todos los elementos.
   No importa el orden: Juan, Ana.
   No se repiten los elementos.
   
   
   
   
   • Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
   La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
   
   nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos 
   Donde se observa que,
   
   La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
   nPr = nCr r! 
   Y si deseamos r = n entonces;
   nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1 
   ¿Qué nos indica lo anterior? 
   Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.
   
   
   
   
   Ejemplos:
   1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
   
   Solución:
   a. n = 14, r = 5
   
   14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
   = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
   = 2002 grupos

3.-  las combinaciones?son utilizadas cuando se?quiere conocer el n?mero de formas diferentes posibles ?en las que se puede?agrupar unos elementos de un? conjunto sin importar el orden.

la formula utilizada para hayar las combinaciones es la siguiente:

m!/(m-n)!n!

ejemplo:

Tenemos el n?mero? 1234. ?Cu?ntos n?meros?de dos cifras se pueden combinar tomando de dos en dos los n?meros?

tenemos que m=4 y n=2

m!/(m-n)!n!=??? 4!/(4-2)!2!=6?????

????????(4*3*2*1/(2*1*2*1))=6?

12	13	14
23	24	34

?

definicion de permutacion con repeticion

permutación con repetición.

1.- En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para  hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales. Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O, por lo que quedaría, O₁SO_2, y las permutaciones a obtener serían:

  ₃P₃ = 3! = 6

definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

                     O₁SO₂, O₂SO₁, SO₁O₂, SO₂O₁, O₁O₂S, O₂O₁S

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

Como: Arreglos reales

O₁SO₂ = O₂SO₁             ®             OSO

SO₁O₂ = SO₂O₁              ®            SOO

O₁O₂S= O₂O₁S          ®             OOS

2.-Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n₁ veces, el segundo se repite n₂ veces ... y el último se repite  n_k veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por P_n^{n1,n2,...,nk.}

   

definicion de permutacion

¿que es permutacion?
1.-  una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para conjuntos de 3 elementos, en este caso: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

2.-Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n

definición de combinatorio

¿que es combinatorio?

1:La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Además, estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.

2:La Combinatoria estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

1. Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

2. Muestra Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.

3:La Teoría Combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de contar. Aparte del interés que tiene en si misma, la combinatoria tiene aplicaciones de gran importancia en otras áreas, y en particular a la Teoría de Probabilidades.

http://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/EPyE09/Cap2.pdf
https://www.ditutor.com/combinatoria/combinatoria.html
https://es.slideshare.net/verdugo87/combinatoria-13090451
https://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

4: