definicion de conjuntos

¿que es conjunto?
1:El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva. Similar mente sucede con el término elemento.
2:Conjunto •Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que se denominan elementos o miembros del conjunto. Las letras mayúsculas A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos y las minúsculas a, b, x, y, . . . , denotan elementos de conjuntos. •Ejemplo: el alumno a pertenece al grupo A

3:Para el entendimiento de las matemáticas siempre se estudia como base el tema de conjuntos, y el caso particular de las matemáticas discretas, esto no puede pasarse por alto, debido que en esta materia se requiere conceptualizar y crear conjuntos de elementos para agrupar datos y relacionarlos conforme informaciones específicas que se tienen, por ejemplo para el álgebra booleana o bien para grafos, por mencionar algunos ejemplos.

Para las matemáticas discretas es  fundamental el entendimiento de la lógica y la teoría de conjuntos, porque  en ocasiones se requiere estudiar objetos que suelen ser distintos, además de ser separables, pero que tienen que ser descritos y observados de manera conjunta.

En las nuevas tecnologías de la información se utiliza la lógica y la teoría de conjuntos de forma implícita, por ejemplo, en la formulación de bases de datos porque se emplean conjuntos para la elaboración de la relación de pares ordenados para crearlas.

Con el fin de contar con los fundamentos teóricos elementales para el estudio de las matemáticas discretas, en la presente unidad se conocerá la teoría como la práctica para la resolución de problemas.

¿que es diagrama de venn?

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estosdiagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas.

operaciones básicas de conjunto

1:Operaciones entre conjuntos
unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como AUB, el cual contiene todos los elementos de A y de B.
Se define asi: AUB={x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
AUB={a,b,c,d,e}

· 2:Operaciones entre conjuntos
INTERSECCION
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por A∩B.
Se define asi: A∩B={x ∈ U / x ∈ A ʌ x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
A∩B={b,c}
· 3:Operaciones entre conjuntos
diferencia
Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por A-B.
Se define asi: A-B={x ∈ A /x ∉ B}
A - B
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={2,4,8,9} entonces,
A-B= {1,3,5,6}

· 4:Operaciones entre conjuntos
complemento
El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.
cA = cUA ; {x ∈ U /x ∉ A}
Ejemplo:
Si U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A={2,4,6} entonces,
c A= {1,3,5,7,8,9}
· 5:Operaciones entre conjuntos
Diferencia simetrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos.
Se define así: A ∆ B= (A-B)U(B-A)
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={4,5,6,7,8,9} entonces
A-B= {1,2,3} ; B-A={7,8,9}
A ∆ B={1,2,3,7,8,9}

simbologia

todas la operaciones de conjunto

Unión

Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A ∪ B

El símbolo de esta operación es: ∪.

 Es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte del conjunto unión una vez solamente; esto difiere de la unión de conjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.

Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}$

Ejemplos

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:

1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}
2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.

Intersección

Diagrama de Venn que muestra la intersección de dos conjuntos A ∩ B

El símbolo de esta operación es: ∩.

Sean A y B dos conjuntos, la intersección de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}}$

Ejemplos

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:

1. Ejemplo: La intersección de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={2}, esto es: {1,2,3}∩{2,4,6}={2}
2. Ejemplo: La intersección del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={${\displaystyle \emptyset }$} o sea no sería ningún número. Por lo tanto se dice que estos dos conjuntos son disjuntos.
3. Ejemplo: La intersección de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol y a baloncesto a la vez.

Disjuntividad

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la intersección de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B= {${\displaystyle \emptyset }$}

Ejemplos

1. Ejemplo: La intersección del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={${\displaystyle \emptyset }$} o sea serían disjuntos.
2. Ejemplo: La intersección del conjunto de personas que juegan a baloncesto y el conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto vacío, osea serían disjuntos.
3. Ejemplo: La intersección de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={${\displaystyle \emptyset }$}, ya que {3,7,8}∩{1,2,9}={${\displaystyle \emptyset }$} por lo tanto A y B son disuntos.

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra la diferencia de dos conjuntos A \ B

El símbolo de esta operación es: \.

La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.

Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si ${\displaystyle \{x/x\in A\land x\not \in B\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.
2. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.

Complemento

Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A

El símbolo de esta operación es: A^∁, o también se suele representar con el símbolo A

Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A

Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si ${\displaystyle A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números
2. Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan.
3. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos menores de 5, incluyendo el 5 es el conjunto {1,2,3,4}

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que muestra la diferencia simétrica de dos conjuntos A Δ B

El símbolo de esta operación es: Δ.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene

1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

Producto cartesiano

En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas.

La n-tupla ordenada ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ es la colección ordenada dónde su primer elemento es ${\displaystyle (a_{1})}$, ${\displaystyle (a_{2})}$ es su segundo elemento, ... y ${\displaystyle (a_{n})}$ el elemento n-ésimo.

Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado de cada par es igual, osea, ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ = ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},\dots ,b_{n})}$ esto sucede si, y sólo si ${\displaystyle (a_{i})}$=${\displaystyle (b_{i})}$ para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son iguales si, y sólo si a=c y b=d.

Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:

El símbolo de esta operación es: ×

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B.

${\displaystyle A}$×${\displaystyle B=\{(a,b)/a\in A\land b\in B\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

Principio de inclusión-exclusión

Es la generalización del resultado de las uniones de un número arbitrario de conjuntos, es una técnica muy importante que se usa principalmente en los problemas de enumeración.

Sucede por ejemplo cuando queremos encontrar un cardinal de la unión de dos conjuntos y para encontrar dicho número de la unión de dos conjuntos finitos A y B, hay que tener encuenta que en A∪B cada elemento de A está solo una vez en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos que pueden pertenecer a A y a B a la vez, por lo tanto el principio de inclusión-exclusión se basa en restar a la unión de dos conjuntos finitos la intersección de ambos.

Matemáticamente: A∪B - A∩B

Identidad

En matemáticas, una identidad es cuando dos objetos que aparentemente son distintos por la forma en la que se representan, al final son lo mismo. Por lo tanto, una identidad es una igualdad entre dos expresiones, entre los conjuntos existen una serie de leyes de identidades, que les muestro a continuación:

Leyes de identidad

• A ∪ ${\displaystyle \emptyset }$ = A, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío es el mismo conjunto.
• A ∩ U = A, la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto universal es el mismo conjunto.

Leyes de dominación

• A ∪ U = U, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto universal, es el conjunto universal.
• A ∩ ${\displaystyle \emptyset }$ = ${\displaystyle \emptyset }$, la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío, es el conjunto vacío.

Leyes idempotentes

• A ∪ A = A, la unión de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.
• A ∩ A = A, la intersección de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.

Ley de complementación

• A, la negación de la negación de un conjunto cualquiera, es el mismo conjunto.

Leyes conmutativas

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A

Leyes asociativas

• A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C
• A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C

Leyes distributivas

• A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
• A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

Leyes de De Morgan

Representación gráfica de las leyes de De Morgan

• A ∪ B = A ∩ B
• A ∩ B = A ∪ B

La forma generalizada es:

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

donde I es un conjunto indexado, posiblemente incontable.

Leyes de absorción

• A ∪ (A∩B) = A
• A ∩ (A∪B) = A

Leyes de complemento

• A ∪ A = U, la unión de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto universal.
• A ∩ A = ${\displaystyle \emptyset }$, la intersección de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto vacío.

Uniones e intersecciones generalizadas

Las operaciones de unión y de intersección tienen la propiedad asociativa, por lo tanto si tenemos tres conjuntos A, B y C...

La unión de esos tres conjuntos es otro conjunto D el cual contiene todos aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o C. (A∪B∪C)

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C, por lo tanto: ${\displaystyle A\cup B\cup C=\{x/x\in A\lor x\in B\lor x\in C\}}$

La intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otro conjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en B y en C. (A∩B∩C)

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x pertenece al conjunto C, por lo tanto: ${\displaystyle A\cap B\cap C=\{x/x\in A\land x\in B\land x\in C\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: La unión del conjunto de personas que juegan al fútbol, el conjunto de personas que juegan al baloncesto y el conjunto de personas que juegan a tenis, es el conjunto de personas que juegan a uno o más de los tres deportes citados; sin embargo, la intersección de esos tres conjuntos sería el conjunto de personas que juegan a los tres deportes.
2. Ejemplo: Sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20}, la unión de A, B y C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y C es el conjunto D={20}

tablas de verdad

mapas de karnaugh

diferencias de tabla de verdad y mapas de karnaugh

 En la tabla de la verdad vos tenes todas las salidas que existen para toda combinación posible en la entrada.
En cambio en Karnaugh vos tenes esa misma información pero ordenada de forma tal que podes hallar la función lógica simplificada que representa al circuito. Karnaugh sirve para eso...simplificar las expresiones.
Con esto te ahorras de hacer cálculos para simplificar expresiones booleanas.