relacion o tabla

¿que es una relación o tabla?

1-Una relación se establece haciendo coincidir los datos de las columnas de clave, normalmente las columnas (o campos) con el mismo nombre en ambas tablas. En la mayor parte de los casos, la relación conecta la clave principal (o la columna del identificador único de cada fila) desde una tabla a un campo de otra tabla.

2-Uno de los objetivos de un buen diseño de base de datos es eliminar la redundancia de los datos (datos duplicados). Para lograr dicho objetivo, conviene desglosar los datos en muchas tablas basadas en temas para que cada hecho esté representado sólo una vez. A continuación, se debe proporcionar a Microsoft Office Access 2007 los medios para recopilar de nuevo la información desglosada (esto se realiza colocando campos comunes en tablas que están relacionadas). Sin embargo, para realizar este paso correctamente, primero deberá comprender las relaciones existentes entre las tablas y, a continuación, especificar dichas relaciones en la base de datos de Office Access 2007.

3-Para que los datos de las tablas se puedan seleccionar, encontrar y procesar de forma rápida y eficaz, es necesario que las tablas no se encuentren aisladas unas de otras. Las tablas tienen que estar relacionadas con otras formando estructuras relacionales. La relación es una asociación establecida entre campos comunes (columnas) en dos tablas. Los campos que entran en relación pueden llamarse de distinta manera, pero tienen que ser del mismo tipo de datos. La relación permite al motor de Acces, encontrar datos relacionados en ambas tablas. Por ejemplo podemos encontar NOMBRE, APELLIDO (de la tabla EMPLEADO_PERSONAL), SALARIO, y DEPART (de la tabla EMPLEADO_LABORAL) de uno o varios empleados.

Las relaciones pueden ser de tres tipos:

• 1. De uno a uno.
• 2. De uno a varios.
• 3. De varios a varios.
• 4. Indeterminada, indefinida o inconsistente.

1. Relación de uno a uno:

Por cada registro de la tabla principal (tabla que contiene la clave principal) puede existir un sólo registro en la tabla relacionada (tabla que contiene la clave externa). La tabla relacionada no puede contener un registro que no esté relacionado con uno de la tabla principal: no puede existir un registro con FECHA_ALTA, SALARIO, etc., si no hay un empleado con el que se relacione. Esta relación se utiliza para simplicar y organizar las tablas con muchos campos. Ver el ejemplo siguiente:

Ver el ejemplo siguiente:

nota: esta relación se indica: 

Más información sobre relación uno a uno:

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2. Relación de uno a varios:

Por cada registro de la tabla principal (tabla de la clave principal o lado uno de la relación) pueden existir muchos (infinitos) registros en la tabla relacionada (tabla de la clave externa o lado infinito de la relación). La tabla relacionada no puede contener un registro que no esté relacionado con uno de la tabla principal, pero pueden haber muchos registro que estén relacioandos con el mismo registro de la tabla principal: varios (infinitos) empleados de la tabla EMPLEADO_LABORAL, pueden estar en el mismo departamento de la tabla DEPARTAMENTO...

nota: esta relación se indica: 

Más información sobre relación uno a varios:

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ejemplos de relaciónes...,

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3. Relación de varios a varios:

Debes tener claro las llaves primarias y una tabla de unión para que se produzca la relación varios a varios entre PRODUCTOS y NUM_VENTA. Un registro de la tabla NUM_VENTA puede estar relacionado con varios registros de la tabla PRODUCTOS y un registro de la tabla PRODUCTOS puede estar relacionado con varios registros de la tabla NUM_VENTA. Explicación: cuando realizamos una venta le asignamos un número (N_VENTA) y lo almacenamos en la tabla NUM_VENTA; esa venta puede estar formada por uno o varios productos identificados con un numero de producto (N_PRODUCTO) de la tabla PRODUCTOS.

Pero, ¿cómo podemos relacionar varios registros de la tabla NUM_VENTA con varios de PRODUCTOS, y viceversa?. En realidad esta relación está formada por dos relaciones de uno a muchos. Una tabla intermedia (tabla de unión VENTAS) contiene la clave principal múltiple que se forma con la conbinación de dos (o más) claves externas: N_VENTA y N_PRODUCTO. La combinación de estos dos campos forma un campo que no se repite. Por ejemplo: la venta 200 (N_VENTA vale 200) se realizó con los productos 12, 14 y 36 (N_PRODUCTO). Si formamos con N_VENTA y N_PRODUCTO una clave principal obtenemos 20012, 20014 y 20036, valores no repetidos. Con otros valores de N_VENTA se prcedería igual.

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Más información sobre relación de varios a varios:

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4. Relación indeterminada:

Esta relación se puede producir por diversas causas y en cualquier caso debe evitarse puesto que no garantiza la obtención de datos coherentes.

Más información sobre relación indeterminada:

relación indeterminada...

tuplas colgadas...

definición de base de datos

1-Una base de datos es un conjunto de datos pertenecientes a un mismo contexto y almacenados sistemáticamente para su posterior uso. En este sentido; una biblioteca puede considerarse una base de datos compuesta en su mayoría por documentos y textos impresos en papel e indexados para su consulta. Actualmente, y debido al desarrollo tecnológico de campos como la informática y la electrónica, la mayoría de las bases de datos están en formato digital, siendo este un componente electrónico, por tanto se ha desarrollado y se ofrece un amplio rango de soluciones al problema del almacenamiento de datos.

2-

El término de bases de datos fue escuchado por primera vez en 1963, en un simposio celebrado en California, USA. Una base de datos se puede definir como un conjunto de información relacionada que se encuentra agrupada ó estructurada.

3-Una base de datos es una colección de información organizada de tal modo que sea fácilmente accesible, gestionada y actualizada. En una sola vista, las bases de datos pueden ser clasificadas de acuerdo con los tipos de contenido: bibliográfico, de puro texto, numéricas y de imágenes

tablas de verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.¹​

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921

relación matemática

¿que es relación matemática?

1-Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

2-El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación

3-Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

tipos de relación matemática

Relación unaria: un solo conjunto ${\displaystyle R\subseteq A\times 1,\;R(a)}$

Relación binaria: con dos conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2},\;R(a_{1},a_{2})}$

Relación ternaria: con tres conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3},\;R(a_{1},a_{2},a_{3})}$

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times A_{4},\;R(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})}$

Relación n-aria: caso general con n conjuntos ${\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\ldots \times A_{n},\;R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

relaciones matemáticas usando matrices y grafos

REPRESENTACIÓN DE RELACIONES (Matrices, Conjuntos, Grafos, Diagrama de Flechas

Matrices

Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos. Definición:
Sean A y B conjuntos finitos de la forma:

Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz , donde La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y unos, de R tiene un 1 en la posición cuando está relacionado con , y un 1 en está posición si no está relacionado con . Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos en un orden particular pero arbitrario.
Por lo tanto, la matriz que representa una relación depende de los órdenes usados para A y B.
Cuando A = B usamos el mismo orden para A y B. Ejemplo:

Sean . Consideremos la siguiente relación de :
Entonces la matriz de R es Recíprocamente, dando los conjuntos A y B con m y n elementos respectivamente, una matriz de m x n formada de ceros y unos determina una relación de A en B, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo:

Determinemos las parejas ordenadas que están en la relación R representada por la matriz Puesto que R consiste de aquellas parejas ordenadas , con , se sigue que
Representación de relaciones usando conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.
Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten.
Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos.
Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica.
Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjunto Representación de relaciones usando grafos.
Un grafo es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binaria entre elementos de un conjunto. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:
• V es un conjunto de vértices o nodos, y • E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.
Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos. Se llama orden del grafo G a su número de vértices, | V | . El grado de un vértice o nodo V es igual al número de arcos E que se encuentran en él. Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden. EJEMPLO:
• V:={1,2,3,4,5,6} • E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2. • En la teorías de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas. • En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.
Representación de relaciones usando diagramas de flechas.
Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama de flechas. Escriba los elementos de a y los elementos de b en dos discos disyuntos, y luego dibuje una flecha de ” a e a “ en ” b e b” cada vez que a este relacionado con b.

definicion de conjuntos

¿que es conjunto?
1:El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva. Similar mente sucede con el término elemento.
2:Conjunto •Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que se denominan elementos o miembros del conjunto. Las letras mayúsculas A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos y las minúsculas a, b, x, y, . . . , denotan elementos de conjuntos. •Ejemplo: el alumno a pertenece al grupo A

3:Para el entendimiento de las matemáticas siempre se estudia como base el tema de conjuntos, y el caso particular de las matemáticas discretas, esto no puede pasarse por alto, debido que en esta materia se requiere conceptualizar y crear conjuntos de elementos para agrupar datos y relacionarlos conforme informaciones específicas que se tienen, por ejemplo para el álgebra booleana o bien para grafos, por mencionar algunos ejemplos.

Para las matemáticas discretas es  fundamental el entendimiento de la lógica y la teoría de conjuntos, porque  en ocasiones se requiere estudiar objetos que suelen ser distintos, además de ser separables, pero que tienen que ser descritos y observados de manera conjunta.

En las nuevas tecnologías de la información se utiliza la lógica y la teoría de conjuntos de forma implícita, por ejemplo, en la formulación de bases de datos porque se emplean conjuntos para la elaboración de la relación de pares ordenados para crearlas.

Con el fin de contar con los fundamentos teóricos elementales para el estudio de las matemáticas discretas, en la presente unidad se conocerá la teoría como la práctica para la resolución de problemas.

¿que es diagrama de venn?

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estosdiagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas.

operaciones básicas de conjunto

1:Operaciones entre conjuntos
unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como AUB, el cual contiene todos los elementos de A y de B.
Se define asi: AUB={x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
AUB={a,b,c,d,e}

· 2:Operaciones entre conjuntos
INTERSECCION
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por A∩B.
Se define asi: A∩B={x ∈ U / x ∈ A ʌ x ∈ B}
Ejemplo:
Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e} entonces,
A∩B={b,c}
· 3:Operaciones entre conjuntos
diferencia
Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por A-B.
Se define asi: A-B={x ∈ A /x ∉ B}
A - B
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={2,4,8,9} entonces,
A-B= {1,3,5,6}

· 4:Operaciones entre conjuntos
complemento
El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.
cA = cUA ; {x ∈ U /x ∉ A}
Ejemplo:
Si U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A={2,4,6} entonces,
c A= {1,3,5,7,8,9}
· 5:Operaciones entre conjuntos
Diferencia simetrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos.
Se define así: A ∆ B= (A-B)U(B-A)
Ejemplo:
Si A={1,2,3,4,5,6} y B={4,5,6,7,8,9} entonces
A-B= {1,2,3} ; B-A={7,8,9}
A ∆ B={1,2,3,7,8,9}

simbologia

todas la operaciones de conjunto

Unión

Diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos A ∪ B

El símbolo de esta operación es: ∪.

 Es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte del conjunto unión una vez solamente; esto difiere de la unión de conjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.

Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}$

Ejemplos

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:

1. Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}
2. Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.

Intersección

Diagrama de Venn que muestra la intersección de dos conjuntos A ∩ B

El símbolo de esta operación es: ∩.

Sean A y B dos conjuntos, la intersección de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}}$

Ejemplos

En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:

1. Ejemplo: La intersección de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto C={2}, esto es: {1,2,3}∩{2,4,6}={2}
2. Ejemplo: La intersección del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={${\displaystyle \emptyset }$} o sea no sería ningún número. Por lo tanto se dice que estos dos conjuntos son disjuntos.
3. Ejemplo: La intersección de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol y a baloncesto a la vez.

Disjuntividad

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la intersección de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B= {${\displaystyle \emptyset }$}

Ejemplos

1. Ejemplo: La intersección del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={${\displaystyle \emptyset }$} o sea serían disjuntos.
2. Ejemplo: La intersección del conjunto de personas que juegan a baloncesto y el conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto vacío, osea serían disjuntos.
3. Ejemplo: La intersección de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={${\displaystyle \emptyset }$}, ya que {3,7,8}∩{1,2,9}={${\displaystyle \emptyset }$} por lo tanto A y B son disuntos.

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra la diferencia de dos conjuntos A \ B

El símbolo de esta operación es: \.

La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.

Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si ${\displaystyle \{x/x\in A\land x\not \in B\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.
2. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.

Complemento

Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A

El símbolo de esta operación es: A^∁, o también se suele representar con el símbolo A

Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A

Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si ${\displaystyle A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números
2. Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan.
3. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos menores de 5, incluyendo el 5 es el conjunto {1,2,3,4}

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que muestra la diferencia simétrica de dos conjuntos A Δ B

El símbolo de esta operación es: Δ.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene

1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

Producto cartesiano

En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas.

La n-tupla ordenada ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ es la colección ordenada dónde su primer elemento es ${\displaystyle (a_{1})}$, ${\displaystyle (a_{2})}$ es su segundo elemento, ... y ${\displaystyle (a_{n})}$ el elemento n-ésimo.

Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado de cada par es igual, osea, ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ = ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},\dots ,b_{n})}$ esto sucede si, y sólo si ${\displaystyle (a_{i})}$=${\displaystyle (b_{i})}$ para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son iguales si, y sólo si a=c y b=d.

Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:

El símbolo de esta operación es: ×

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B.

${\displaystyle A}$×${\displaystyle B=\{(a,b)/a\in A\land b\in B\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

Principio de inclusión-exclusión

Es la generalización del resultado de las uniones de un número arbitrario de conjuntos, es una técnica muy importante que se usa principalmente en los problemas de enumeración.

Sucede por ejemplo cuando queremos encontrar un cardinal de la unión de dos conjuntos y para encontrar dicho número de la unión de dos conjuntos finitos A y B, hay que tener encuenta que en A∪B cada elemento de A está solo una vez en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos que pueden pertenecer a A y a B a la vez, por lo tanto el principio de inclusión-exclusión se basa en restar a la unión de dos conjuntos finitos la intersección de ambos.

Matemáticamente: A∪B - A∩B

Identidad

En matemáticas, una identidad es cuando dos objetos que aparentemente son distintos por la forma en la que se representan, al final son lo mismo. Por lo tanto, una identidad es una igualdad entre dos expresiones, entre los conjuntos existen una serie de leyes de identidades, que les muestro a continuación:

Leyes de identidad

• A ∪ ${\displaystyle \emptyset }$ = A, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío es el mismo conjunto.
• A ∩ U = A, la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto universal es el mismo conjunto.

Leyes de dominación

• A ∪ U = U, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto universal, es el conjunto universal.
• A ∩ ${\displaystyle \emptyset }$ = ${\displaystyle \emptyset }$, la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío, es el conjunto vacío.

Leyes idempotentes

• A ∪ A = A, la unión de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.
• A ∩ A = A, la intersección de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.

Ley de complementación

• A, la negación de la negación de un conjunto cualquiera, es el mismo conjunto.

Leyes conmutativas

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A

Leyes asociativas

• A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C
• A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C

Leyes distributivas

• A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
• A ∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

Leyes de De Morgan

Representación gráfica de las leyes de De Morgan

• A ∪ B = A ∩ B
• A ∩ B = A ∪ B

La forma generalizada es:

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

donde I es un conjunto indexado, posiblemente incontable.

Leyes de absorción

• A ∪ (A∩B) = A
• A ∩ (A∪B) = A

Leyes de complemento

• A ∪ A = U, la unión de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto universal.
• A ∩ A = ${\displaystyle \emptyset }$, la intersección de un conjunto cualquiera con su complementario, es el conjunto vacío.

Uniones e intersecciones generalizadas

Las operaciones de unión y de intersección tienen la propiedad asociativa, por lo tanto si tenemos tres conjuntos A, B y C...

La unión de esos tres conjuntos es otro conjunto D el cual contiene todos aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o C. (A∪B∪C)

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C, por lo tanto: ${\displaystyle A\cup B\cup C=\{x/x\in A\lor x\in B\lor x\in C\}}$

La intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otro conjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en B y en C. (A∩B∩C)

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x pertenece al conjunto C, por lo tanto: ${\displaystyle A\cap B\cap C=\{x/x\in A\land x\in B\land x\in C\}}$

Ejemplos

1. Ejemplo: La unión del conjunto de personas que juegan al fútbol, el conjunto de personas que juegan al baloncesto y el conjunto de personas que juegan a tenis, es el conjunto de personas que juegan a uno o más de los tres deportes citados; sin embargo, la intersección de esos tres conjuntos sería el conjunto de personas que juegan a los tres deportes.
2. Ejemplo: Sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20}, la unión de A, B y C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y C es el conjunto D={20}

tablas de verdad

mapas de karnaugh

diferencias de tabla de verdad y mapas de karnaugh

 En la tabla de la verdad vos tenes todas las salidas que existen para toda combinación posible en la entrada.
En cambio en Karnaugh vos tenes esa misma información pero ordenada de forma tal que podes hallar la función lógica simplificada que representa al circuito. Karnaugh sirve para eso...simplificar las expresiones.
Con esto te ahorras de hacer cálculos para simplificar expresiones booleanas.